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3.3 Simultaneous Equations on Graphs - 章节总结

图像法解联立方程总结：掌握图像交点与联立方程解的关系，直线与曲线交点的几何意义

## 核心概念总结

图像法基本原理
联立方程的解与对应图像的交点一一对应

每个交点的坐标 \((x, y)\) 都是联立方程的解

线性联立方程
两条直线相交 → 1个交点 → 1组解

平行直线 → 无交点 → 无解

重合直线 → 无限多解

## 关键要点回顾

必须掌握的要点
  • 联立方程的解与图像交点一一对应
  • 线性联立方程：两条直线，通常有1组解
  • "线性 + 二次"联立方程：直线与二次曲线，最多2组解
  • 判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 决定交点个数
  • \( \Delta > 0 \)：2个交点，2组解
  • \( \Delta = 0 \)：1个交点，1组解（相切）
  • \( \Delta < 0 \)：无交点，无解

## 常见错误提醒

常见错误
  • 混淆图像与方程的关系：记住图像交点给出方程的解，不是方程给出图像
  • 忘记判别式的几何意义：\( \Delta > 0 \) 表示两个不同交点，不是"有解"
  • 代入消元时符号错误：整理方程时要小心正负号，特别是减法
  • 遗漏重根情况：\( \Delta = 0 \) 时只有一个交点，但仍是有解的

## 解题步骤总结

图像法解题步骤
  1. 绘制图像：在坐标系中画出各方程对应的图像
  2. 寻找交点：找出图像相交的点
  3. 读取坐标：交点的坐标就是联立方程的解
  4. 验证：将解代回原方程验证正确性
判别式法解题步骤
  1. 代入消元：将一方程代入另一方程
  2. 整理方程：整理成 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 形式
  3. 计算判别式：\( \Delta = b^2 - 4ac \)
  4. 判断解的个数：根据 \( \Delta \) 的值确定交点个数
  5. 求具体解：若需要，解一元二次方程求坐标